請教一個集合論的問題

immanuel

想請教論壇上數學比較好的同學

現有兩個其基數各自為無限大的集合A與B，其交集亦為無限大。請問A或B各自減掉A與B的交集後的部份，其基數就不再是無限大，可以進行比較了是嗎?

也就是若下圖的A和B都是無限大，深藍部分的交集也是無限大，那麼淺藍部份就不再是無限大，A和B各自的淺藍部份可以進行比較，是這樣嗎?






我的陳述肯定很不精確，或很有問題


請多多包涵


謝謝~

Koenig

原文由 immanuel 於 2010-1-10 14:10 發表
想請教論壇上數學比較好的同學

現有兩個其基數各自為無限大的集合A與B，其交集亦為無限大。請問A或B各自減掉A與B的交集後的部份，其基數就不再是無限大，可以進行比較了是嗎?

也就是若下圖的A和B都是無限大，深藍部分的交 ...

在公公還沒出場前
小弟先來墊檔一下
小弟會直覺認為A=B

immanuel

原文由 Koenig 於 2010-1-10 14:30 發表 在公公還沒出場前小弟先來墊檔一下小弟會直覺認為A=B

對

我也知道兩個無限大的集合或數系是相等的

但我的問題是

無限大的集合減掉其無限大的一部份後就不再是無限大了嗎?

直覺上好像是這樣

比方說無限大減1好像就不再是無限大

但是無限大減無限大呢?

:47:

[ 本文最後由 immanuel 於 2010-1-10 14:56 編輯 ]

Koenig

原文由 immanuel 於 2010-1-10 14:36 發表

對

我也知道兩個無限大的集合或數系是相等的

但我的問題是

無限大的集合減掉其無限大的一部份後就不再是無限大了嗎?

直覺上好像是這樣

比方說無限大減1好像就不再是無限大

但是無限大減無限大 ...

我覺得應該先考慮
"無限大減一"或"無限大減無限大"這兩個問題在數學上有沒有意義
因為據我的印象
"無限大"不是一般的數字
其四則運算好像有一些先決條件

若有，那得出的結果是不是"有限大"或"零"

[ 本文最後由 Koenig 於 2010-1-10 15:25 編輯 ]

immanuel

原文由 Koenig 於 2010-1-10 15:08 發表 我覺得應該先考慮"無限大減一"或"無限大減無限大"這兩個問題在數學上有沒有意義若有，那得出的結果是不是"有限大"或"零"

這個我就真的不了解了...

:46:

一篇講圖像的哲學論文莫名奇妙跑出集合論

不知道是不是哲學家的誤用...

把部分原文貼上來一下

Ein repräsentationales System A hat höhere Fülle als ein System B nur für den Fall(die Kardinalzahl von A oder B ist unendlich):

(1) A∩B ist nicht leer, und
(2) Die Kardinalzahl von A-(A∩B) ist größer als die Kardinalzahl von B-(A∩B).

[ 本文最後由 immanuel 於 2010-1-12 11:35 編輯 ]

chuck

偷偷問一下....

基數

這個是？

bosm19

immanuel

2010-1-10 15:59         wang.hurh 短評         +1 看到這個問題就頭大 @=@

豈止是頭大

很驚慌勒

哲學論文沒事扯什麼集合論來虛張聲勢

這只有萬惡的分析哲學才幹的出來

:34:

immanuel

原文由 chuck 於 2010-1-10 16:09 發表 偷偷問一下....基數這個是？bosm19

這裡據說指的是一個集合中的元素的個數

不是指部隊裡開合跳或伏地挺身的計數單位

:46:

akyetttt

無限的集合是「有大有小」的，像是自然數和整數和有理數都「一樣大」，但實數比他們「大」!可以接受嗎？可接受才能繼續談....另一方面，原文論述有問題，例如A為1到10間的有理數，B為5到100間的有理數，除去交集，都還是無限集合啊！

[ 本文最後由 akyetttt 於 2010-1-10 16:41 編輯 ]

chuck

原文由 akyetttt 於 2010-1-10 16:34 發表
無限的集合是「有大有小」的，像是自然數和整數和有理數都「一樣大」，但實數比他們「大」!可以接受嗎？可接受才能繼續談....另一方面，原文論述有問題，例如A為1到10間的有理數，B為5到100間的有理數，除去交集，都還是無限集合啊！ ...

整數和實數雖然都是一種無限集合，但結構不同

整數是 aleph-0 的 countably infinite, 然而 實數卻是 aleph-1 的 Uncountably Infinite

原命題的問題在於，這兩個 infinite 是什麼結構？

immanuel

原文由 akyetttt 於 2010-1-10 16:34 發表 無限的集合是「有大有小」的，像是自然數和整數和有理數都「一樣大」，但實數比他們「大」!可以接受嗎？可接受才能繼續談....另一方面，原文論述有問題，例如A為1到10間的有理數，B為5到100間的有理數，除去交集，都還是無限集合啊！ ...

感謝回應啊

我也不知道該不該接受

因為這些數那些數跟我太遙遠了

:32:


我最初的問題是對我後來引用的德文原文的理解

我不確定對不對

我能確定的只有原作者想要比較兩種表象系統在某種性質上的程度

比方說圖像(Bild)和圖表(Diagram)或圖像和語言(Sprache)

原作者的立場是不同的表象系統有各自令其成為該種表象的一些物理性質(E)

每種表象系統的這些物理性質可以視為一組集合(ES)

其數量是無限的(假定為真，應該是自然數吧)

所以我們無法直接比較兩個系統的ES

但如果兩個系統A和B的交集也是無限大(?)

則當A和B各自扣去A∩B後的部分就是有限的(?)

因此可以比大小(?)


不知在這個背景下

可不可以比較兩種不同的表象系統的ES的大小

謝謝~

[ 本文最後由 immanuel 於 2010-1-10 17:10 編輯 ]

Koenig

原文由 immanuel 於 2010-1-10 15:23 發表
(die Kardinalzahl von A oder B ist unendlich):
...

剛剛從雪中慢跑回來頭腦比較清楚
又把你的問題看了一下
我想請問上述你引用的原句子有沒有漏掉"nicht"這個字?
也就是說應該是die Kardinalzahl von A oder B ist nicht unendlich

immanuel

原文由 Koenig 於 2010-1-10 18:03 發表 剛剛從雪中慢跑回來頭腦比較清楚又把你的問題看了一下我想請問上述你引用的原句子有沒有漏掉"nicht"這個字?也就是說應該是die Kardinalzahl von A oder B ist nicht unendlich ...

不

我很確定原作者的立場就是A和B都是無限集合

否則就不至於要考慮如何比較它們的大小了


原作者要反對的是

把不同的表象系統設想成父集與子集的關係

比方說下圖A是B的子集、B是A的父集




原作者認為不同表象系統之間的關係並非如上圖所示為父集與子集的關係

而是如下圖所示的某種交集




也許在父集和子集的情況比大小是可能的(應該吧?)

但如果不同表象系統的關係是交集的

而其各自與表象有關的物理性質的集合以及不同系統的集合是無限的

要怎麼比較A和B各自扣掉A和B的交集後的大小?

kati

原文由 Koenig 於 2010-1-10 18:03 發表


剛剛從雪中慢跑回來頭腦比較清楚

bosm153

今天老王登山隊歇業
結果僅存的隊員都去雪中慢跑了....

chuck

頂文....

論壇有不少主修數學的專家

快浮出水面拯救一馬大師於水深火熱的 Cantor 地獄

immanuel

原文由 lieberherrchen 於 2010-1-11 11:56 發表 請參考以下想法, 但純屬想法而已.If, and only if: A=5/0 -->∞; B=4/0 -->∞; A∩B =1/0 -->∞now, A-(A∩B)=5/0-1/0=4/0 -->∞B-(A∩B)=4/0-1/0=3/0 -->∞用白馬((A-(A∩B))非馬(∞)? 或許可 ...

謝謝回應

但這樣就更玄了

能不能請直接告訴我

究竟可不可以比較A-(A∩B)與B-(A∩B)的大小?


如果可以

在哪種條件下可以?

在哪種條件下又不可以?

比方說我上面舉的那個表象系統的物理性質的例子

可以這樣比較使兩種不同的表象系統各自成為某類表象的物理性質的多寡嗎?

謝謝~

immanuel

原文由 lieberherrchen 於 2010-1-11 12:39 發表 野人獻曝如下也.1) 究竟可不可以比較A-(A∩B)與B-(A∩B)的大小?--->所謂∞就是沒大也沒小, 這兩者可能根本不在同一象限(空間), 所以不能, 也沒的比.2) 可以這樣比較使兩種不同的表象系統各自成為某類表象的物 ...

這裡所謂的表象指的不是幻覺(Schein)或本體/表象之分的那種表象(Erscheinung)

而是諸如語言、記號、圖像這類具有表意功能的系統

這些系統一方面具有物理性質，否則不可能實際存在

另一方面則具有表意性質，這性質又不能為其物理性質解釋

immanuel

我再問的更"具體"一點

一個無限集合可以減掉部分嗎?

(比方說A減掉A∩B)

如果可以

剩下的部份(A-(A∩B)就變成可數的嗎?


原始論證的重點即在於此

作者認為一無限集合減掉與另一無限集合的交集部分

剩下的部份就變成可數的

因此可以比較大小

但如果無限集合減掉部分還是不可數

那那位哲學家就是在唬爛

akyetttt

主題回顧
immanuel 發表於 2010-1-11 14:04
我再問的更"具體"一點

一個無限集合可以減掉部分嗎?

(比方說A減掉A∩B)

如果可以

剩下的部份(A-(A∩B)就變成可數的嗎?


原始論證的重點即在於此

作者認為一無限集合減掉與另一無限集合的交集部分

剩下的部份就變成可數的

因此可以比較大小

但如果無限集合減掉部分還是不可數

那那位哲學家就是在唬爛
immanuel 發表於 2010-1-11 12:51

首先，你所謂的「減」，用「差集」會好些，至於「無限集合減掉與另一無限集合的交集部分」剩下的部份，當然可是無限或有限。
再者，「可數」主要的意義在於和自然數的一一對應，所以可數仍可是無限的。
或許不要從數學的角度看，否則好像真的看不大懂......

Loveinjesus

我記得無限大的集合，不管加減乘除啥東西，結果都還是無限大與不可數。
我同意假若是，A無限大，B無限大，"A+B- A U B" 是可數的!! (因為就是圖中重疊的部分阿)


PS: 大學時代是數學系，但"拓樸學"當掉過，還是不要聽我的，已忘了當初怎樣畢業的。。。。bosm117